FG是满射且G是单射则F是满射，若f是双射,则h是单射,g是满射

1、不是单射也不是满射FG是满射且G是单射则F是满射，因为f1，2=f2，1=4，值域中的4对应定义域中的两个值1，2和2，1，所以不是单射，因为值域中的1和2，没有定义域中的值映射过来，所以不是满射单射，不是满射，值域中的1，1没有定义域中值映射过来相关内容解释若映射f既是单射，又是满射，则称映。

2、gy=ByAB=E 等价于说 合成的线性映射 fg 是 恒同映射记作id或者1，于是f 是满射 且 g 是单射 这是来自集合论的基本结果所以，A 的行向量线性无关，B 的列向量线性无关。

3、当两个函数f和g都是单射时，它们的复合函数f o g同样保持单射的性质即，如果g和h都映射到X，且f o g的结果相同，则g和h本身的映射必须相同，这是单射函数的关键特性反过来，如果g o f是单射，这并不直接意味着f是单射，但f确实满足单射的条件，即对于任何W上的g和h，如果f o g。

4、性质 1函数为一个满射，当且仅当存在一个函数满足等于Y上的单位函数这个陈述等价于选择公理2根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射3如果是满射，则f是满射4如果f和g皆为满射，则为满射5为满射，当且仅当给定任意函数满足，则g=h。

5、用反证法证明先证f是单射回顾单射的定义X的不同点的像一定不同用反证法假设f不是单射，即有两个X上的不同点的像相同，即存在x1，x2两个不同点，它们都被f映成y可是g再把y映回来的时候，只能映为x1或者x2或者其他一个什么点，即gf不可能是恒等函数了具体来说，分类讨论，1假如gfx1=x1，即g。

6、以下是单射和满射的证明过程1 单射的证明过程假设有一个线性映射 $fV ightarrow W$如果 $f$ 是单射，那么对于任意 $u，vin V$，如果 $fu=fv$，则必须有 $u=v$证明假设 $fu=fv$，那么 $fufv=0$因为 $f$ 是线性映射，所以有 $fuv=0$。

7、就像两根直线之间的唯一交点一样最后，值得注意的是，两个双射函数的复合即一个双射后接着另一个双射依然是双射但是，如果g o f是双射，我们只能得出f是单射且g是满射，而不是它们都是双射在集合论中，这样的双射构成一个对称群，体现了它们在结构上的特殊性质。

8、单射就是只能一对一，不能多对一 满射只要Y中的元素在X中都能找到原像就行了一对一，多对一都行双射就是既是单射又是满射一个对一个，每个都不漏掉同学。

9、例如，考虑实数集R到其自身的映射f=2x+1此映射是满射，因为对于任意实数b，都可以找到一个实数a使得f=b这是因为每个实数b都可以表示为形式为“某个数的两倍再加一”的数因此，映射覆盖了整个目标集合单射的解释及例子单射是指映射的每个元素在源集中都是唯一的，不存在多个元素对应同一。

10、那么函数f是满射的这意味着函数的值域覆盖了目标集合的所有内容，没有遗漏任何可能的输出值换句话说，每个输出都有至少一个与之对应的输入如果再加上单射的性质，即每个输出都恰好有一个输入与之对应，那么这种既满足单射又满足满射的函数被称为“一一对应”。

11、因为GF=Ix 所以F为单射，否则 x1FG是满射且G是单射则F是满射！=x2 y=fx1=fx2则x1=gy=x2 矛盾 G为满射，否则 存在x0 st不存在gy0=x0 则与gfx0=x0矛盾取y0=fx0同理 因为FG＝Iy 所以G是单射 F是满射 所以f，g都是双射 由逆映射定义可知 若fgy=y gfx=x，则f和g互为逆映射。

12、gf是双射，推出f单射，g满射同理，hg双射推出，g单射，h满射所以g双射再由双射推出f满射和h单射。

13、接着，选择公理的第三个表述为若集合A和B存在且存在满射f，那么存在单射g使得g为A到B的恒等映射由于f是满射，所有元素均有对应，故集合非空通过选择公理定义函数g，使得gx为x若gx不为单射，则存在x1和x2，使得gx1=gx2，这与g的定义矛盾因此，g为单射最后，选择公理。

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